Кривые Безье интересны исключительно тем, что есть очень быстрый и эффективный алгоритм их построения через последовательное нахождение средних точек отрезков.
Математически, они задаются параметрическим уравнением: квадратичные x1 t² + x2 t(1-t) + x3 (1-t)² кубические x1 t³ + x2 t²(1-t) + x3 t(1-t)² + x4 (1-t)³, где xi-тые некоторые точки на плоскости.
Можно определить и для других степеней, но они не используются.
Для проверки прохождения через заданную точку для квадратичной кривой Безье мы получим систему из 2-х кубический уравнений с 7-ю неизвестными. У этой системы уйма решений в общем положении, поэтому не совсем понятен вопрос. Для третей степени получим два уравнения 4-ой степени с 9-ю неизвестными...
Длина кривой Безье считается по общей формуле для длины параметрической кривой.
Для квадратичной кривой Безье получится интеграл от корня квадратного из полинома второй степени по t. (Мне лень выписывать этот полином в явном виде. Формула для полинома x'(t)^2 + y'(t)^2.) Первообразная от таких хоть и существует, но содержит натуральные логарифмы. Поэтому поделить на кусочки одинаковой длины используя только рациональные значения t в общем случае, по-идее, не получится. (Понятно, что если есть какая-то симметрия, скажем, если треугольник натянутый на точки x1, x2, x3 равнобедренный, то она делится пополам в точке соответствующей t =0.5).
Для кубических кривых под интегралом будет стоять корень квадратный из полинома четвертой степени. Первообразные от таких функций содержат эллиптические функции и логарифмы...
no subject
Математически, они задаются параметрическим уравнением:
квадратичные
x1 t² + x2 t(1-t) + x3 (1-t)²
кубические
x1 t³ + x2 t²(1-t) + x3 t(1-t)² + x4 (1-t)³,
где xi-тые некоторые точки на плоскости.
Можно определить и для других степеней, но они не используются.
Для проверки прохождения через заданную точку для квадратичной кривой Безье мы получим систему из 2-х кубический уравнений с 7-ю неизвестными. У этой системы уйма решений в общем положении, поэтому не совсем понятен вопрос. Для третей степени получим два уравнения 4-ой степени с 9-ю неизвестными...
Длина кривой Безье считается по общей формуле для длины параметрической кривой.
Для квадратичной кривой Безье получится интеграл от корня квадратного из полинома второй степени по t. (Мне лень выписывать этот полином в явном виде. Формула для полинома x'(t)^2 + y'(t)^2.) Первообразная от таких хоть и существует, но содержит натуральные логарифмы. Поэтому поделить на кусочки одинаковой длины используя только рациональные значения t в общем случае, по-идее, не получится. (Понятно, что если есть какая-то симметрия, скажем, если треугольник натянутый на точки x1, x2, x3 равнобедренный, то она делится пополам в точке соответствующей t =0.5).
Для кубических кривых под интегралом будет стоять корень квадратный из полинома четвертой степени. Первообразные от таких функций содержат эллиптические функции и логарифмы...