Про новостную ленту

[vit_r]

ksonin опять поздравил Россиян с победой демократических сил (в смысле, объяснил, почему Трамп проиграл выборы). Да, немного заранее, но в прошлый раз он сделал то же самое. Вот какой П. В смысле, постоянный.

Тактика вполне правильная, ибо первое правило эксперта учит: Ошибочные предсказания забываются, совпавшие остаются в памяти.

Маразматичный Джо во главе самой мощной страны мира -- это, конечно, стрёмно, зато интересно. Будучи на другой стороне Земного шара я бы на это с интересом посмотрел. Особенно, когда история дойдёт до кондиции "Брежнев на английском". Социализм, который американцы решили себе построить, должен быть гармоничным.

А теперь вопрос: не знает ли кто случайно хорошего материала по математике кривых Безье? Нашёл кучу разрозненных статей о том, как удобнее аппроксимировать окружность или в какой точке проще делить, но хочется не таскать куски кода, а посмотреть на алгоритмы с точки зрения математики.

Comments

[vanja_y]

Кривые Безье интересны исключительно тем, что есть очень быстрый и эффективный алгоритм их построения через последовательное нахождение средних точек отрезков.

Математически, они задаются параметрическим уравнением:
квадратичные
x₁ t² + x₂ t(1-t) + x₃ (1-t)²
кубические
x₁ t³ + x₂ t²(1-t) + x₃ t(1-t)² + x₄ (1-t)³,
где x_i-тые некоторые точки на плоскости.

Можно определить и для других степеней, но они не используются.

Для проверки прохождения через заданную точку для квадратичной кривой Безье мы получим систему из 2-х кубический уравнений с 7-ю неизвестными. У этой системы уйма решений в общем положении, поэтому не совсем понятен вопрос. Для третей степени получим два уравнения 4-ой степени с 9-ю неизвестными...

Длина кривой Безье считается по общей формуле для длины параметрической кривой.

Для квадратичной кривой Безье получится интеграл от корня квадратного из полинома второй степени по t. (Мне лень выписывать этот полином в явном виде. Формула для полинома x'(t)^2 + y'(t)^2.) Первообразная от таких хоть и существует, но содержит натуральные логарифмы. Поэтому поделить на кусочки одинаковой длины используя только рациональные значения t в общем случае, по-идее, не получится. (Понятно, что если есть какая-то симметрия, скажем, если треугольник натянутый на точки x₁, x₂, x₃ равнобедренный, то она делится пополам в точке соответствующей t =0.5).

Для кубических кривых под интегралом будет стоять корень квадратный из полинома четвертой степени. Первообразные от таких функций содержат эллиптические функции и логарифмы...

[vit_r]

Это пока что поиск направления. Громоздкость формул не так страшна, потому что нужно искать оптимальные конфигураци параметров в достаточно узких пределах, что можно уже сделать численно.

Самому не очень хочется выводить что-нибудь вроде квадратного корня из полинома четвёртой степени, вот и искал примеры, насколько далеко можно зайти на преобразованиях формул и стоит ли это делать. Или есть какие-то зацепки, чтобы проблемы обойти.