Про новостную ленту

[vit_r]

ksonin опять поздравил Россиян с победой демократических сил (в смысле, объяснил, почему Трамп проиграл выборы). Да, немного заранее, но в прошлый раз он сделал то же самое. Вот какой П. В смысле, постоянный.

Тактика вполне правильная, ибо первое правило эксперта учит: Ошибочные предсказания забываются, совпавшие остаются в памяти.

Маразматичный Джо во главе самой мощной страны мира -- это, конечно, стрёмно, зато интересно. Будучи на другой стороне Земного шара я бы на это с интересом посмотрел. Особенно, когда история дойдёт до кондиции "Брежнев на английском". Социализм, который американцы решили себе построить, должен быть гармоничным.

А теперь вопрос: не знает ли кто случайно хорошего материала по математике кривых Безье? Нашёл кучу разрозненных статей о том, как удобнее аппроксимировать окружность или в какой точке проще делить, но хочется не таскать куски кода, а посмотреть на алгоритмы с точки зрения математики.

Comments

[rampitec]

Тьфу на вас, и даже завтра будет нихрена непонятно. Боюсь, до 19 декабря будет нихрена непонятно.

[vit_r]

Скотт Адамс посоветовал проверить боезапас. При любом исходе с ним как-то спокойнее.

[rampitec]

На месте!

[rampitec]

И вообще, вся аналитика, которую я читал, выглядит так, как будто ее писали на обратной стороне Луны. Даже биржевая. Так что я практически уверился, что это они так специально создают рынок, и одновременно ставят против рынка. Иначе это безумие выводов не объяснить.

[vit_r]

"Экономика -- это та наука, где можно стать гуру, не сделав ни одного сбывшегося предсказания." (Кто-то из Австрийской школы, источник сейчас искть влом.)

[chaource]

А какой вопросъ стоитъ по поводу кривыхъ Безье? Не то, чтобы я что-то въ нихъ понималъ, но интересно. Когда-то читалъ про нихъ, но давно уже все забылъ.

[vit_r]

Хочу прикинуть, сложно ли с ними работать аналитически. Например, найти параметры для прохождения через заданную точку, деление на заданной длинне и пр.

[chaource]

Интуитивно кажется, что аналитически тамъ ничего не работаетъ. Все вычислять надо приближенно, численными методами. Скажемъ, дѣленiе кривой на заданной длинѣ - врядъ ли можно вообще написать формулу для длины произвольной кривой Безье, проведенной черезъ заданныя точки.

[vit_r]

Вот по этой причине я и ищу, что люди придумали по части математических свойств и получающихся алгоритмов. И, ествественно, мне интересны частные случаи в практическом применении, потому что для получения правильного результата условия задачи можно и изменить.

[vanja_y]

Кривые Безье интересны исключительно тем, что есть очень быстрый и эффективный алгоритм их построения через последовательное нахождение средних точек отрезков.

Математически, они задаются параметрическим уравнением:
квадратичные
x₁ t² + x₂ t(1-t) + x₃ (1-t)²
кубические
x₁ t³ + x₂ t²(1-t) + x₃ t(1-t)² + x₄ (1-t)³,
где x_i-тые некоторые точки на плоскости.

Можно определить и для других степеней, но они не используются.

Для проверки прохождения через заданную точку для квадратичной кривой Безье мы получим систему из 2-х кубический уравнений с 7-ю неизвестными. У этой системы уйма решений в общем положении, поэтому не совсем понятен вопрос. Для третей степени получим два уравнения 4-ой степени с 9-ю неизвестными...

Длина кривой Безье считается по общей формуле для длины параметрической кривой.

Для квадратичной кривой Безье получится интеграл от корня квадратного из полинома второй степени по t. (Мне лень выписывать этот полином в явном виде. Формула для полинома x'(t)^2 + y'(t)^2.) Первообразная от таких хоть и существует, но содержит натуральные логарифмы. Поэтому поделить на кусочки одинаковой длины используя только рациональные значения t в общем случае, по-идее, не получится. (Понятно, что если есть какая-то симметрия, скажем, если треугольник натянутый на точки x₁, x₂, x₃ равнобедренный, то она делится пополам в точке соответствующей t =0.5).

Для кубических кривых под интегралом будет стоять корень квадратный из полинома четвертой степени. Первообразные от таких функций содержат эллиптические функции и логарифмы...

[vit_r]

Это пока что поиск направления. Громоздкость формул не так страшна, потому что нужно искать оптимальные конфигураци параметров в достаточно узких пределах, что можно уже сделать численно.

Самому не очень хочется выводить что-нибудь вроде квадратного корня из полинома четвёртой степени, вот и искал примеры, насколько далеко можно зайти на преобразованиях формул и стоит ли это делать. Или есть какие-то зацепки, чтобы проблемы обойти.

[permea-kra.livejournal.com]

Salomon D., Curves and Surfaces for Computer Graphics
Ну и для общего развития можно полистать что-то специализированное по дифференциально и аналитической геометрии и теории интерполяции.

[vit_r]

Занятный автор. Написал в 2011 по компьютерной графике Manual, а следующая книга в 2014 уже "A book of photography".

С общим развитием и аналитической геометрией проблем нет, но там используются вменяемые кривые. Для преобразований формул удобнее брать не то, что выгодно для численных вычислений и нагляднее для ручного рисования.

[permea-kra.livejournal.com]

Автор как автор. Качественная компьютерная графика тесно связана с численной обработкой изображений, которая включает в себя и цифровую обработку фотографий. Плюс обе строятся вокруг цветовосприятия человеческого глаза.

Я бы все-таки освежил основы аналитической геометрии, там есть странные вещи. Ну и книжку по полиноминальной интеполяции под рукой держал бы - это штука полезная сама по себе.

У меня, когда я пытался в этой тематике сориентироваться, сложилось странное впечатление. Где-то в 90х работы по алгоритмам 2д комп. графике почти исчезли из букварей. Такое чувство, будто все, в теме разбирающиеся, дружно подписали NDA.

[vit_r]

Где-то в девяностых почти исчезли многие интересные направления. Но есть объяснение проще: в индустрию повалили веб-криворучки и им были нужны решения, а не размышления. Все сложные направления и несколько интересных языков как раз в это время зачахли и прекратили развитие.

[permea-kra.livejournal.com]

А это направление ни фига не исчезло как явление, наоборот, на 90е пришелся взрыв популярности векторных шрифтов. Оно исчезло из публичной сферы.

[vit_r]

Векторные шрифты рисуют руками. У меня чуть ли не первый коммерческий проект был связан с редактором шрифтов. В этом смысле по математике, скорее, откат получается. По изображению векторных шрифтов на разных разрешениях экрана чего-то и могли тайного сделать, но это меня не интересует.

В принципе, все подобные алгоритмы реализуют в Inkscape, пусть и не оптимальным образом. Другое дело, восстанавливать смысл по коду не очень удобно, а документаця там хреновейшая.

[permea-kra.livejournal.com]

>. По изображению векторных шрифтов на разных разрешениях экрана чего-то и могли тайного сделать.

Оно не столько тайное, сколько запатентованное и плохо документированное. Это не может быть, это факт - достаточно поковыряться в теме. Единственная открытая реализация - FreeType. Насколько я могу судить по беглому взгляду - довольно неплохо документированная, но одна.

[vit_r]

Всё-таки оставлю здесь, что у него на странице написано

The following books are available:
  -  A book on photography (2014).
  -  Manual of Computer Graphics (2011).
     [...]
  -  Data Privacy and Security, (2003). Available also in Chinese.
     [...]
  -  The Advanced TeXbook (1995).
  -  Assemblers and Loaders (1993).

Robert Benchley said, "It took me fifteen years to discover that I had no talent for writing, but I couldn't give it up because by that time I was too famous."

[someusersp]

Нагуглилось
https://pomax.github.io/bezierinfo/


Bézier and B-Spline Techniques
Authors: Prautzsch, Hartmut, Boehm, Wolfgang, Paluszny, Marco

[vit_r]

Это у меня уже давно на диске лежит. Ещё у MIT более-менее прилично тема раскрыта. Но интересна информация не по типу "выучи и сдай", а для того, чтобы применять на практике.

Впрочем, может у меня задачи слишком специфические, а людям просто нужно посмотреть алгоритм и скопировать в ответ.

[permea-kra.livejournal.com]

Кривые Безье - это рендеринг шрифтов. Эта тема, АФАИК, в свое время была плотно покрыта патентами и коммерческой тайной, так что информации по этой тематике прискорбно мало несмотря на повсеместную распространенность.

[juan_gandhi]

Да; Сонин - это вроде Глобы.

(Про Безье не в курсе.)

[vit_r]

Глоба по-рачьи мутен. Тут же всё чётко, аргументировано, обоснованно и научно. Впрочем, для альтернативного варианта оставлено "значит, надо разбираться в том чуде".

Таким образом, наука или демонстрирует свою мощь, или углубляет её.

[bowhill]

Да, советским без фюрера просто невыносимо.

[math_mommy]

Похоже, для кривых Безье используют сплайны. Они есть в учебниках по Вычислительным Методам (Numerical analysis).
Если вам нужно побольше, то как математик с диссером могу сказать, что это какая-та нишевая область, мне неизвестная. То есть если книги есть, то это специализированные монографии, требующие многих лет подготовки для чтения. При желании, конечно, можно упорно копать в этом направлении.

[vit_r]

Вся математика сейчас состоит из нишевых областей. Просто есть вероятность, что кто-то занимался компьютерной графикой и встречал что-то интересное. И уравнения там не такие, чтобы понимание требовало многих лет подготовки. По крайней мере, для людей с техническим образованием.

А аппроксимировать окружность -- это как раз про сплайны. Только мне это не нужно.

[math_mommy]

Математики пишут для своих, в расчете на тех, кто много лет этим занимался и умеет понимать формулы. Кто посмотрит на выражение типа
B(t) = P0 + (1-t)P1, 0< t < 1
и сразу понимает, что имется ввиду отрезок прямой, без всяких там объяснений. То есть это будет сложнее, чем в статья в Вики, где есть пояснение.

[vit_r]

Спасибо за заботу. Я не испугался. У меня были и функциональный анализ, и страховая математика, и прочее. В обозначениях разобраться никаких проблем нет, если понимать что за этим стоит. Тем более, что в разных странах даже деление в столбик по-разному пишут.

[math_mommy]

Всегда пожалуйста! Как я уже заметила - математики пишут для своих, без всяких там пояснений. Когда книгу используют для курса в аспирантуре, то преподаватель выдает эти пояснения устно, студенты запоминают ну или в лекциях записывают. Самостоятельно читать - дело долгое и трудное. Как говорится среди студентов-математиков:
- Слово "тривиально" автор поставил вместо пары страниц текста с иллюстрациями, которые ему было лень писать.
Последний известный деятель, сумевший освоить такого рода литературу самостоятельно, был Рамануджан и он - гений. При этом в половине его результатов были ошибки, потому что он не все правильно понял. Но, может, вы тоже как Рамануджан, правда?

[vit_r]

Мир розовых пони.

Во-первых, речь идёт о кривых на плоскости, представленных стандартными кубическими уравнениями. Ещё запись матриц нажно знать. (Хотя я не понимаю, что в матрицах можно не понимать.) Это максимум второй курс технического вуза. Плюс год можно накинуть на знание матметодов (хотя в данном случае они не нужны).

Во-вторых, я со студенческих времён работаю с математиками. Причём, не в смысле реализации матметодов, но и выдачи математикам техзадания. Реальный мир -- это не выпендрёжь перед студентами, а взаимодействие специалистов из различных областей. Не надо путь математиков с мудаками.

[math_mommy]

Кривые Безье применять к розовым пони... Оригинально.
Поздравляю с тем, что разобрались!
Математики разные бывают. Я видела сотни. Те, то пишут книги - весьма самовлюбленные товарищи. Что интересно - техзадания им никто не дает.
Про розовых пони расскажите подробнее, пожалуйста! Вижу, вы много о них знаете, а мне самой смотреть лень.

[vit_r]

Иногда вы напоминаете мне адепта религиозного культа из начала девяностых. Практически то же самое нездоровое стремление при любой возможности похвастаться причастности к просветлённым.

Это забавно наблюдать, но играть в эти игры мне лень.

[rdia.livejournal.com]

Вы хотите сказать, что Трамп - это Хрущёв?

[vit_r]

Каким местом? И цены на кукурузу сейчас взлетели выше пшеницы.

Безье link

[(Anonymous)]

https://pomax.github.io/bezierinfo/