Про новостную ленту

[vit_r]

ksonin опять поздравил Россиян с победой демократических сил (в смысле, объяснил, почему Трамп проиграл выборы). Да, немного заранее, но в прошлый раз он сделал то же самое. Вот какой П. В смысле, постоянный.

Тактика вполне правильная, ибо первое правило эксперта учит: Ошибочные предсказания забываются, совпавшие остаются в памяти.

Маразматичный Джо во главе самой мощной страны мира -- это, конечно, стрёмно, зато интересно. Будучи на другой стороне Земного шара я бы на это с интересом посмотрел. Особенно, когда история дойдёт до кондиции "Брежнев на английском". Социализм, который американцы решили себе построить, должен быть гармоничным.

А теперь вопрос: не знает ли кто случайно хорошего материала по математике кривых Безье? Нашёл кучу разрозненных статей о том, как удобнее аппроксимировать окружность или в какой точке проще делить, но хочется не таскать куски кода, а посмотреть на алгоритмы с точки зрения математики.

Comments

[chaource]

А какой вопросъ стоитъ по поводу кривыхъ Безье? Не то, чтобы я что-то въ нихъ понималъ, но интересно. Когда-то читалъ про нихъ, но давно уже все забылъ.

[vit_r]

Хочу прикинуть, сложно ли с ними работать аналитически. Например, найти параметры для прохождения через заданную точку, деление на заданной длинне и пр.

[chaource]

Интуитивно кажется, что аналитически тамъ ничего не работаетъ. Все вычислять надо приближенно, численными методами. Скажемъ, дѣленiе кривой на заданной длинѣ - врядъ ли можно вообще написать формулу для длины произвольной кривой Безье, проведенной черезъ заданныя точки.

[vit_r]

Вот по этой причине я и ищу, что люди придумали по части математических свойств и получающихся алгоритмов. И, ествественно, мне интересны частные случаи в практическом применении, потому что для получения правильного результата условия задачи можно и изменить.

[vanja_y]

Кривые Безье интересны исключительно тем, что есть очень быстрый и эффективный алгоритм их построения через последовательное нахождение средних точек отрезков.

Математически, они задаются параметрическим уравнением:
квадратичные
x₁ t² + x₂ t(1-t) + x₃ (1-t)²
кубические
x₁ t³ + x₂ t²(1-t) + x₃ t(1-t)² + x₄ (1-t)³,
где x_i-тые некоторые точки на плоскости.

Можно определить и для других степеней, но они не используются.

Для проверки прохождения через заданную точку для квадратичной кривой Безье мы получим систему из 2-х кубический уравнений с 7-ю неизвестными. У этой системы уйма решений в общем положении, поэтому не совсем понятен вопрос. Для третей степени получим два уравнения 4-ой степени с 9-ю неизвестными...

Длина кривой Безье считается по общей формуле для длины параметрической кривой.

Для квадратичной кривой Безье получится интеграл от корня квадратного из полинома второй степени по t. (Мне лень выписывать этот полином в явном виде. Формула для полинома x'(t)^2 + y'(t)^2.) Первообразная от таких хоть и существует, но содержит натуральные логарифмы. Поэтому поделить на кусочки одинаковой длины используя только рациональные значения t в общем случае, по-идее, не получится. (Понятно, что если есть какая-то симметрия, скажем, если треугольник натянутый на точки x₁, x₂, x₃ равнобедренный, то она делится пополам в точке соответствующей t =0.5).

Для кубических кривых под интегралом будет стоять корень квадратный из полинома четвертой степени. Первообразные от таких функций содержат эллиптические функции и логарифмы...

[vit_r]

Это пока что поиск направления. Громоздкость формул не так страшна, потому что нужно искать оптимальные конфигураци параметров в достаточно узких пределах, что можно уже сделать численно.

Самому не очень хочется выводить что-нибудь вроде квадратного корня из полинома четвёртой степени, вот и искал примеры, насколько далеко можно зайти на преобразованиях формул и стоит ли это делать. Или есть какие-то зацепки, чтобы проблемы обойти.

[permea-kra.livejournal.com]

Salomon D., Curves and Surfaces for Computer Graphics
Ну и для общего развития можно полистать что-то специализированное по дифференциально и аналитической геометрии и теории интерполяции.

[vit_r]

Занятный автор. Написал в 2011 по компьютерной графике Manual, а следующая книга в 2014 уже "A book of photography".

С общим развитием и аналитической геометрией проблем нет, но там используются вменяемые кривые. Для преобразований формул удобнее брать не то, что выгодно для численных вычислений и нагляднее для ручного рисования.

[permea-kra.livejournal.com]

Автор как автор. Качественная компьютерная графика тесно связана с численной обработкой изображений, которая включает в себя и цифровую обработку фотографий. Плюс обе строятся вокруг цветовосприятия человеческого глаза.

Я бы все-таки освежил основы аналитической геометрии, там есть странные вещи. Ну и книжку по полиноминальной интеполяции под рукой держал бы - это штука полезная сама по себе.

У меня, когда я пытался в этой тематике сориентироваться, сложилось странное впечатление. Где-то в 90х работы по алгоритмам 2д комп. графике почти исчезли из букварей. Такое чувство, будто все, в теме разбирающиеся, дружно подписали NDA.

[vit_r]

Где-то в девяностых почти исчезли многие интересные направления. Но есть объяснение проще: в индустрию повалили веб-криворучки и им были нужны решения, а не размышления. Все сложные направления и несколько интересных языков как раз в это время зачахли и прекратили развитие.

[permea-kra.livejournal.com]

А это направление ни фига не исчезло как явление, наоборот, на 90е пришелся взрыв популярности векторных шрифтов. Оно исчезло из публичной сферы.

[vit_r]

Векторные шрифты рисуют руками. У меня чуть ли не первый коммерческий проект был связан с редактором шрифтов. В этом смысле по математике, скорее, откат получается. По изображению векторных шрифтов на разных разрешениях экрана чего-то и могли тайного сделать, но это меня не интересует.

В принципе, все подобные алгоритмы реализуют в Inkscape, пусть и не оптимальным образом. Другое дело, восстанавливать смысл по коду не очень удобно, а документаця там хреновейшая.

[permea-kra.livejournal.com]

>. По изображению векторных шрифтов на разных разрешениях экрана чего-то и могли тайного сделать.

Оно не столько тайное, сколько запатентованное и плохо документированное. Это не может быть, это факт - достаточно поковыряться в теме. Единственная открытая реализация - FreeType. Насколько я могу судить по беглому взгляду - довольно неплохо документированная, но одна.

[vit_r]

Всё-таки оставлю здесь, что у него на странице написано

The following books are available:
  -  A book on photography (2014).
  -  Manual of Computer Graphics (2011).
     [...]
  -  Data Privacy and Security, (2003). Available also in Chinese.
     [...]
  -  The Advanced TeXbook (1995).
  -  Assemblers and Loaders (1993).

Robert Benchley said, "It took me fifteen years to discover that I had no talent for writing, but I couldn't give it up because by that time I was too famous."